Мы уже знаем, что наличие зарядов требует взаимодействия и калибровочного поля, которое называется векторным потенциалом A.
Здесь и далее буквы А, а, k, r, P, Q, E, B-векторы.
В той части пространства, где нет зарядов, грубо говоря в вакууме, имеем следующие соотношения для электрического и магнитного полей (здесь и далее положим для уменьшения числа букв с=1, ℏ=1):
Е=-∂А/∂t, В=rotA. (0)
Применяя самую простую калибровку
divA=0 (1) получим уравнение для векторного потенциала:
ΔA-∂²A/∂t²=0 (2)
Будем искать решение этого уравнения для определенной частоты ω в виде суперпозиции бегущих плоских
волн:
A=∑A(k)•cos(ωt-kr+φ) (3)
Так как из (2) следует, что k²=ω², то есть скорость волн равна 1-скорости света, то сумма в (3)- это сумма по всем возможным направлениям вектора k, так как его длина равна ω.
(3) можно переписать в виде:
A=∑(а(k)•exp(ikr)+а*(k)exp(-ikr)). (4), где
а(k) = A(k)•exp(-iωt-φ)/2 (4.1), а - комплексное сопряжение.
Видно, что амплитуды плоских волн а(k) не зависят от координаты r, а зависят только от времени по гармоническому закону.
Если подставить (4) в (1), то мы получим, что
а(k)•k = 0.
Это значит, что а(k)⊥k, то есть волны разложения поперечные, соответственно имеют две возможных поляризации.
Далее введем новую переменную поля
Q(k) = (1/√(4π))(а(k)+ а(k)) (5),
ее обобщенный импульс
P(k)=∂Q(k)/∂t = (-iω/√(4π))(а(k)-а*(k)) (6)
Нетрудно увидеть, что величины в (5) и (6) действительные. А векторный потенциал, выраженный через них имеет вид:
A=√(4π)∑(Q(k)•cos(kr)-(1/ω)P(k)•sin(kr)) (7)
Учитывая, что энергия поля равна
H=(1/8π)∫(E²+В²)dV,
то подставляя (7) в (0) и интегрируя предыдущее выражение получим, что
Н=(1/2)∑(P²(k)+ω²Q²(k)) (😎
Так как а(k)⊥k, то и P(k)⊥k, и Q(k)⊥k.
Тогда мы можем разложить P и Q на две взаимно перперпедикулярные компоненты 1 и 2, которые в свою очередь будут перпендикулярны k.
Тогда выражение (😎 перепишется в виде:
Н=(1/2)∑(P₁²(k)+ω²Q₁²(k)+Р₂²(k)+ω²Q₂²(k)) (9)
Что это значит? Энергия электромагнитного поля представляется в виде энергий невзаимодействующих гармонических осцилляторов, при этом осцилирующая величина Q не зависит от координат, зависит только от времени. При этом она имеет определенное направление относительно k, то есть поляризацию, и импульс k.
Решение с этим гамильтонианом в квантовой механике хорошо известно
E=∑(N(k,α)+1/2)ℏω= ∑(N(k,α)+1/2)ω. (10)
N(k,α) - целые числа, соотвествующие импульсу k и поляризации α=1,2.
Какие выводы из 10?
Фотоном назвали квант возбуждения электромагнитного поля, энергия которого ℏω. Если мы посмотрим выражение (4.1) и воздействуем на а(k) оператором энергии iℏ∂/∂t, увидим, что iℏ∂а(k)/∂t = ℏω а(k), а если подействуем на a*(k), то тогда iℏ∂а*(k)/∂t = -ℏω а*(k)
Оператор соответсвующий величине а(k) зазвали оператором рождения фотона, а величине а*(k) - оператором уничтожения фотона. Стоит отметить, что так как действие векторного поля А описывается изменением импульса частицы р->р-qA, то фотон не взаимодействует с нейтральными частицами, с нейтроном иногда такое взаимодействие можно наблюдать, так как он состоит из заряженных кварков.
Итак, вроде бы фотон:
Вроде бы все пункты, кроме 1 понятны и очевидны. Однако, первый предполагает, что фотон - это плоская волна. И тут возникает проблемка. Плоская волна существует во всем пространстве бесконечное время. Если мы возьмем длинную палку и будем пускать на воде плоскую волну, то получим 2 проблемы.
То есть реально мы никогда не сможем излучить плоскую волну, а будем излучать, только волновой пакет. То есть мы излучая энергию ℏω, излучаем ее не с конкретным k, с некоторым разбросом по k. Тогда у нас получится не плоская волна типа А=exp(іωt-ikr), а волна типа A=F(t,r)•exp(іωt-ikr). Функция F имеет свой максимум который перемещается в пространстве со скоростью света. Этим объясняется, то факт, что фотон летит. Насчет детекции фотона в одной точке: энергия взаимодействия поля с детектором Е=j•A, j-ток в детекторе. Когда волновой пакет долетает то детектора, поле А на детекторе начинает увеличиваться, когда оно достигает такой величины, что детектор может поглотить энергию ℏω, происходит срабатывание детектирования. Это примерно как в гитаре: звучит струна всей длиной. Мы прижимаем ее пальцем в одной точке - пучности и она замолкает. Энергия со всей длины струны переходит в одну точку - наш палец.
Основной проблемой было пояснение эффектов квантования на примере плоских волн в свободном пространстве, где интуитивно понятные объяснения привели к полному провалу в точности.
Здесь разберем этот вопрос в резонаторе, что безусловно проще.
Итак есть фотон- квант возбуждения электромагнитного поля. Вопрос: как из этих фотонов - квантовых штук получается классическая электромагнитная волна из лазера, например.
Как иллюстрация: лазер с частотой ω выдает импульсы энергией W. Вопрос: сколько квантов в импульсе. Вроде бы ничего сложного N=W/(ℏω). Но тут с точки зрения квантовой физики сразу возникает вопрос. Если мы возьмем ровно N квантов и засунем их в резонатор, будет ли там электромагнитное поле с энергией W?
Суть проблемы: если у нас есть неопределенность числа квантов системы ΔN и неопрелеленность фазы Δφ, то квантово-механическое соотношение между неопределённостью числа и фазы ΔNΔφ≥1/2 (*).
Если число квантов зафиксировано - ΔN=0, то неопределенность фазы равна бесконечности и среднее поле системы из N квантов равно 0.
То есть имея систему из ровно N=W/(ℏω) квантов нельзя получить классический лазерный импульс мощностью W.
Состояние системы с конкретным числом квантов называется состоянием Фока, разложение по таким состояниям называется базисом Фока. Базис Фока ортогонален, так как как вероятность того, что в системе с n квантами находится ровно m квантов равна 0, если m≠n и единице, если m=n. Это можно записать <m|n>=0 при m≠n, =1 при m=n (1).
Вектор состояний числа квантов обозначается |n>, оператор числа частиц ñ ñ=ăа, где ă-оператор рождения кванта, а - оператор уничтожения кванта, об этом мы писали в прошлом посте, а фоковский базис - это собственные векторы оператора числа частиц:
ñ|n>=n|n>, где |n> вектор состояния с числом n частиц.
Таким образом в фоковском базисе:
|0> - вакуум, |1> - состояние с одним фотоном, |2> - с двумя и т.д.
Как мы уже говорили, если система находится в фоковском состоянии |n>, то ее среднее поле равно 0 и она не сможет сгенерировать классическую электромагнитную волну.
Давайте найдем фоковский базис через операторы рождения ă и уничтожения a частицы.
По идее чтобы получить n частиц нужно подействовать n раз оператором рождения на вакуум, то есть |n>~ăⁿ|0>, однако вектор |n> нормирован, его нормировка приведет к тому, что
|n>=(1/√n!) ăⁿ|0> (2)
Тогда состояние |n>= (1/√n)ă|n-1> (3)
Cooтветственно а|n>=√n|n-1> (4)
Найдем число частиц в системе. Подействуем на (4) оператором ă
ăa|n>=√nă|n-1>=n•(1/√n)ă|n-1>=n|n>
То есть число частиц n - собственное значение оператора числа частиц ñ=ăa.
Мы тут детально изучили состояние Фока, которым нельзя сгенерировать ЭМВ, потому что это отличный базис для разложения.
Давайте назад к волне. Чтобы у нас получилась классическая (лазерная) волна, кванты должны быть в когерентном состоянии. То есть фазы возбуждений должны быть фиксированы или что-то вроде этого. Если фазы не фиксированы, или почти не фиксированы, то суммарное среднее поле от всех квантов будет равно 0.
Как это можно реализовать. Рассмотрим это дело в резонаторе. Поле в резонаторе состоит из дискретных мод
А=∑(аexp(-iω(m)t)+a*ехр(iω(m)t))f(m,x) (5)
m- номер моды, суммирование ведется по m. f(m,x) - функция координат, которая задается граничными условиями на концах резонатора, обычно имеет вид синуса или косинуса. *-комплексное сопряжение
Если мы будем рассматривать А как оператор, то а перейдет в оператор уничтожения фотона, а a*- в ă - оператор рождения.
Тут еще одна проблема: из (*) следует, что при точной фиксации фазы неопределенность числа фотонов равна бесконечности.
Так как же описать когерентные состояния?
Это сделал Рой Глаубер в конце 60-х годов ХХ века, за что получил Нобелевскую премию в 2005 году.
В прошлой публикации мы установили, что если ввести новую переменную
Q(m)=a•exp(-iω(m)t)+a*•ехр(iω(m)t), (6)
ее «импульс» cooтвественно будет P(m)=∂Q/∂t=-іω(a•exp(-iω(m)t)-a*•ехр(iω(m)t)) (7) То тогда общий гамильтониан электромагнитного поля будет H=∑(P²(m)+ω²Q²(m)), то есть система ведет себя как множество независимых осцилляторов с переменной Q. В случае резонатора, когда временная и пространственная переменные электромагнитного поля разделяются, то Q - это зависящая от времени амплитуда электромагнитного поля. Так как Q - обобщенная координата, P-обобщенный импульс, то по соотношению Гейзенберга: ΔPΔQ≥1/2, а и P и Q зависят от а и а*, то Глаубер записал, что когерентное состояние- это состояние с минимально возможными квантовыми флуктуациями, то есть ΔPΔQ=1/2 Из этого вышло, что вектор такого состояния |ψ> является собственным вектором оператора уничтожения: а |ψ>=λ |ψ>, (7) где λ- комплексное число. В этом случае из (5) поле m-той моды можно записать как А(m)=А₀cos(ω(m)t+φ)•f(m,x) , (😎 где А₀ и φ- действительные числа, что соответствует классической волне в резонаторе. Тамим образом, когерентные состояния- это такие состояния, которые являются собственными векторами оператора уничтожения. Именно они делают из фотонов классическую ЭМВ. Эти состояния называются глауберовскими и они не ортогональны. Но (😎 мы получили в резонаторе, в вакууме из-за того, что временная и пространственная часть не разделяются, все гораздо сложнее. Анализировать глауберовские состояния не понятно как, поэтому для анализа их раскладывают по ортогональному фоковскому базису, то есть по базису числа частиц. То есть вектор состояния Глаубера
|ψ>=с₀|0>+с₁|1>+…+сn|n>+… (9)
Где сm- комплексные числа, |m> - вектор состояния системы с ровно m фотонами. Воздействуя на (9) оператором уничтожения фотона и учитывая (3), (4) и (7) Получим, что
|ψ>=∑cn |n>= ехр(-|λ|²/2)•∑(1/√n!)•λⁿ |n> (10)
|λ|² =N - это среднее число фотонов в когерентном состоянии, P(n)=|сn|²-вероятность того, что в когерентном состоянии со средним числом N фотонов находится n фотонов. Из (10) следует:
Р(n) = exp(-N)•Nⁿ/n! (11), это пуассоновское распределение с дисперсией ΔN=√N.
Возвращаясь к (*) мы можем записать, что неопределенность фазы в глауберовском состоянии со средним числом N фотонов равно Δφ=1/(2√N).
То есть чем больше фотонов, тем более фиксирована фаза.
Возвращаясь к нашей задаче про количество фотонов частотой ω в лазерном импульсе энергией W мы можем сказать, что там может быть абсолютно любое число фотонов.
Вероятность того, что их n (из 11):
Р(n) = exp(-W/ℏω)•(W/ℏω)ⁿ/n!
То есть вероятность того, что в однофотонном лазерном импульсе ровно 1 фотон равна 37%, а вероятность того, что в импульсе 10 фотонного лазера ровно 10 фотонов равна 12.5%, а вероятность того, что в импульсе 100 фотоного лазера ровно 100 фотонов равна 4%.
Итак, выводы из двух постов: