## Photon
https://www.facebook.com/groups/900321603377111/?multi_permalinks=27127285726920674&hoisted_section_header_type=recently_seen&__cft__[0]=AZaVdln5VyCSFuv1AjRN1SYDpMSNIyw8GcTKL70bXe1yejNMxaNxTC6GJFERtKtmtVH3pB2aQV4GsGHFqUotOraS3Hn6Ce_qTuoR_2CWz5xfWHAsBlHHNZ36GlzXkgl7JUNNR6IqZwA6MT7wxgJLUw5N5JRn-ZRC3SAcvBPCng3YeXSPYGzuCeyjlvmz7gPRxdYNUpMtmbyokC2xwzaIa0k6&__tn__=%2CO%2CP-R

Мы уже знаем, что наличие зарядов требует взаимодействия и калибровочного поля, которое называется векторным потенциалом A.   
Здесь и далее буквы А, а, k, r, P, Q, E, B-векторы. 
В той части пространства, где нет зарядов, грубо говоря в вакууме, имеем следующие соотношения для электрического и магнитного полей (здесь и далее положим для уменьшения числа букв с=1, ℏ=1):  
Е=-∂А/∂t, В=rotA. (0)  
Применяя самую простую калибровку 
divA=0 (1) получим уравнение для векторного потенциала:   
ΔA-∂²A/∂t²=0 (2)  
Будем искать решение этого уравнения для определенной частоты ω в виде суперпозиции бегущих плоских 
 волн:   
A=∑A(k)•cos(ωt-kr+φ) (3)  
Так как из (2) следует, что k²=ω², то есть скорость волн равна 1-скорости света, то сумма в (3)- это сумма по всем возможным направлениям вектора k, так как его длина равна ω. 
(3) можно переписать в виде: 
A=∑(а(k)•exp(ikr)+а*(k)exp(-ikr)). (4), где   
а(k)‎ = A(k)•exp(-iωt-φ)/2 (4.1), а *- комплексное сопряжение.   
Видно, что амплитуды плоских волн а(k) не зависят от координаты r, а зависят только от времени по гармоническому закону. 
Если подставить (4) в (1), то мы получим, что   
а(k)•k‎ = 0.   
Это значит, что а(k)⊥k, то есть волны разложения поперечные, соответственно имеют две возможных поляризации. 
Далее введем новую переменную поля
Q(k)‎ = (1/√(4π))(а(k)+ а*(k)) (5), 
ее обобщенный импульс 
P(k)=∂Q(k)/∂t‎ =  (-iω/√(4π))(а(k)-а*(k)) (6) 
Нетрудно увидеть, что величины в (5) и (6) действительные. А векторный потенциал, выраженный через них имеет вид: 
A=√(4π)∑(Q(k)•cos(kr)-(1/ω)P(k)•sin(kr)) (7)
Учитывая, что энергия поля равна 
H=(1/8π)∫(E²+В²)dV, 
то подставляя (7) в (0) и интегрируя предыдущее выражение получим, что   
Н=(1/2)∑(P²(k)+ω²Q²(k)) (😎  
Так как а(k)⊥k, то и P(k)⊥k, и Q(k)⊥k.   
Тогда мы можем разложить P и Q на две взаимно перперпедикулярные компоненты 1 и 2, которые в свою очередь будут перпендикулярны k.   
Тогда выражение (😎 перепишется в виде:   
Н=(1/2)∑(P₁²(k)+ω²Q₁²(k)+Р₂²(k)+ω²Q₂²(k)) (9)  
Что это значит? Энергия электромагнитного поля представляется в виде энергий невзаимодействующих гармонических осцилляторов, при этом осцилирующая величина Q не зависит от координат, зависит только от времени. При этом она имеет определенное направление относительно k, то есть поляризацию, и импульс k.
Решение с этим гамильтонианом в квантовой механике хорошо известно
E=∑(N(k,α)+1/2)ℏω= ∑(N(k,α)+1/2)ω. (10)  
N(k,α) - целые числа, соотвествующие импульсу k и поляризации α=1,2.   
Какие выводы из 10?  

1. Энергия ЭМ поля изменяется только порциями  ℏω. 
2. Каждая такая порция имеет свой импульс ℏk и поляризацию α. 
3. Порция ℏω не зависит от пространственных координат. 
4. Каждый осциллятор имеет энергию (10) и если все N(k,α) равны 0, то сумма 1/2ℏω по всем возможным k и α даст бесконечную энергию. Ее либо вычитают, называя нулевой энергией вакуума либо перестраивают операторы так чтобы она исчезла. 
5. Исходя из выражения для  гамильтониана (9), осциляторы не взаимодействуют друг с другом.
 
Фотоном назвали квант возбуждения электромагнитного поля, энергия которого ℏω. 
Если мы посмотрим выражение (4.1) и воздействуем на а(k) оператором энергии iℏ∂/∂t, увидим, что iℏ∂а(k)/∂t‎ = ℏω а(k), 
а если подействуем на a*(k), то тогда 
iℏ∂а*(k)/∂t‎ = -ℏω а*(k)

Оператор соответсвующий величине а(k) зазвали оператором рождения фотона, а величине а*(k) - оператором уничтожения фотона. 
Стоит отметить, что так как действие векторного поля А описывается изменением импульса частицы р->р-qA, то фотон не взаимодействует с нейтральными частицами, с нейтроном иногда такое взаимодействие можно наблюдать, так как он состоит из заряженных кварков. 

Итак, вроде бы фотон:

1. Не имеет пространственной локализации, траектории, координат. 
2. Имеет конкретный импульс и конкретную энергию и поляризацию. 
3. Может поглощаться только целиком, так как это минимальная возможная порция изменения энергии электромагнитного поля. 
4. Взаимодействует только с заряженными частицами.
   
Вроде бы все пункты, кроме 1 понятны и очевидны. Однако, первый предполагает, что фотон - это плоская волна. И тут возникает проблемка. 
Плоская волна существует во всем пространстве бесконечное время. 
Если мы возьмем длинную палку и будем пускать на воде плоскую волну, то получим 2 проблемы. 

1. Будут области, куда волна еще не дошла, а значит у нас будет разброс по частотам и он обратно пропорционален времени которое мы создаем волну. Расброс исчезнет, если время возбуждения будет бесконечным. 
2. На концах палки у нас будет разброс по направлению движения волны, то есть по k. И чем короче палка, тем сильнее будет этот разброс. Расброс исчезнет только при бесконечной палке. 

То есть реально мы никогда не сможем излучить плоскую волну, а будем излучать, только волновой пакет. 
То есть мы излучая энергию ℏω, излучаем ее не с конкретным k, с некоторым разбросом по k. 
Тогда у нас получится не плоская волна типа А=exp(іωt-ikr), а волна типа A=F(t,r)•exp(іωt-ikr). 
Функция F имеет свой максимум который перемещается в пространстве со скоростью света. Этим объясняется, то факт, что фотон летит. 
Насчет детекции фотона в одной точке: энергия взаимодействия поля с детектором Е=j•A, j-ток в детекторе. Когда волновой пакет долетает то детектора, поле А на детекторе начинает увеличиваться, когда оно достигает такой величины, что детектор может поглотить энергию ℏω, происходит срабатывание детектирования. 
Это примерно как в гитаре: звучит струна всей длиной. Мы прижимаем ее пальцем в одной точке - пучности и она замолкает. Энергия со всей длины струны переходит в одну точку - наш палец.